Funkcje trygonometryczne Rachunek całkowy

Całki z funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie 1: o całkowaniu funkcji postaci \( R(\sin x, \cos x) \)

Do obliczania całki \( \int R(\sin x, \cos x) dx \), gdzie \( R \) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych stosujemy, w zależności od warunków jakie spełnia funkcja \( R \), następujące podstawienia. Oznaczmy \( u=\sin x, v=\cos x. \)

Jeśli funkcja \( R \) jest dowolna to stosujemy podstawienie uniwersalne (tzw. tangens połówkowy )
\( t=\text{ tg }\frac{ x }{ 2 },\,dx=\frac{ 2dt }{ 1+t^2 },\, \sin x=\frac{ 2t }{ 1+t^2 }, \,\cos x=\frac{ 1-t^2 }{ 1+t^2}. \)
Jeśli \( R(u,v)=R(-u,-v) \) (tzn. funkcje \( \sin x \) i \( \cos x \) są w parzystych potęgach), to stosujemy podstawienie tangensowe
\( t=\text{ tg }x,\, dx=\frac{ dt }{ 1+t^2 },\, \sin^2 x=\frac{ t^2 }{ 1+t^2 },\, \cos^2 x=\frac{ 1 }{ 1+t^2 }. \)
Jeżeli \( R(u,v)=-R(u,-v) \) (tzn. funkcja \( \cos x \) jest w potędze nieparzystej), to
\( t=\sin x,\, dx=\frac{ dt }{ \sqrt{ 1-t^2 } },\, \cos x = \sqrt{ 1-t^2 }. \)
Jeżeli \( R(u,v)=-R(-u, v) \) (tzn. funkcja \( \sin x \) jest w potędze nieparzystej), to
\( t=\cos x,\, dx=-\frac{ dt }{ \sqrt{ 1-t^2 } }, \, \sin x = \sqrt{ 1-t^2 }. \)

Zauważmy, że głównym celem podstawień trygonometrycznych jest zamiana całki z funkcji trygonometrycznych na całkę z funkcji wymiernej.
To, w jaki sposób należy korzystać z podstawień trygonometrycznych, przybliżą nam poniższe przykłady.

Przykład 1:

Stosując podstawienie trygonometryczne, rozwiąż całkę

\( \int \frac{ dx }{ \sin x + 2\cos x +5 }. \)

Zauważmy, że występujące w całce funkcje \( \sin x \) i \( \cos x \) są w potęgach nieparzystych więc do jej rozwiązywania skorzystamy z podstawienia uniwersalnego \( t=\text{ tg }\frac{ x }{ 2 } \) , tangens-połówkowe, i wówczas mamy

\( \begin{align*}\int \frac{ dx }{ \sin x + 2\cos x +5 } &= \left| \substack{ t=\text{ tg } \frac{ x }{ 2 } \\ dx=\frac{ 2dt }{ 1+t^2 } \\ \sin x =\frac{ 2t }{ 1+t^2 } \\\cos x =\frac{ 1-t^2 }{ 1+t^2 } } \right| = \int \frac{ \frac{ 2dt }{ 1+t^2 } }{ \frac{ 2t }{ 1+t^2 } + 2\frac{ 1-t^2 }{ 1+t^2 } +5 } = \int \frac{ \frac{ 2dt }{ 1+t^2 } }{ \frac{ 2t + 2(1-t^2)+5(1+t^2) }{ 1+t^2 } } \\&= \int \frac{ 2dt }{ 2t + 2-2t^2+5+5t^2 }= \int \frac{ 2dt }{ 3t^2 + 2t+7 } \\&= \frac{ 2 }{ 3 } \int \frac{ dt }{ t^2 + \frac{ 2 }{ 3 }t+\frac{ 7 }{ 3 } }=\frac{ 2 }{ 3 } \int \frac{ dt }{ (t + \frac{ 1 }{ 3 })^2+\frac{ 20 }{ 9 } } \\&=\frac{ 2 }{ 3 } \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{ \frac{ 20 }{ 9 } } } \text{ arctg } \left(\frac{ t+ \frac{1}{3} }{ \sqrt{ \frac{ 20 }{ 9 } } }\right)+C=\frac{ 2 }{ 2\sqrt{ 5 } } \text{ arctg } \left(\frac{ 3t+1 }{ 2\sqrt{ 5 } }\right)+C \\&=\frac{ \sqrt{ 5 } }{ 5 } \text{ arctg } \left(\frac{ 3 \text{ tg }\frac{ x }{ 2 } +1 }{ 2 \sqrt{ 5 } }\right)+C=\frac{ \sqrt{ 5 } }{ 5 } \text{ arctg } \left(\frac{ 3 \sqrt{ 5 } \text{ tg }\frac{ x }{ 2 } +\sqrt{ 5 } }{ 10 }\right)+C.\end{align*} \)

Przykład 2:

Korzystając z podstawienia trygonometrycznego oblicz całkę

\( \int \frac{ dx }{ \sin^2 x + 9\cos^2 x }. \)

Zauważmy, że w powyższej całce funkcje sinus i cosinus występują w potęgach parzystych, a stąd najbardziej odpowiednim będzie skorzystanie z podstawienia \( t=\text{ tg } x \)

\( \begin{align*}\int \frac{ dx }{ \sin^2 x + 9\cos^2 x } &= \left| \substack{ t=\text{ tg }x \\ dx=\frac{ dt }{ 1+t^2 } \\ \sin^2 x = \frac{ t^2 }{ 1+t^2 } \\\cos^2 x= \frac{ 1 }{ 1+t^2 } } \right| = \int \frac{ \frac{ dt }{ 1+t^2 } }{ \frac{ t^2 }{ 1+t^2 }+9 \cdot \frac{ 1 }{ 1+t^2 } }= \int \frac{ dt }{ t^2+9 }\\&=\int \frac{ dt }{ t^2+3^2 }= \frac{ 1 }{ 3 } \text{ arctg } \frac{ t }{ 3 }+C\\&= \frac{ 1 }{ 3 } \text{ arctg }\left(\frac{ \text { tg }x }{ 3 }\right)+C.\end{align*} \)

Przykład 3:

Stosując podstawienie trygonometryczne oblicz całkę

\( \int \cos^3x dx. \)

Oczywiście do rozwiązania powyższej całki możemy użyć podstawienia uniwersalnego jednak o wiele łatwiejszą całkę będziemy mieć do rozwiązania, jeśli zastosujemy podstawienie \( t=\sin x, \) tj. kiedy funkcja cosinus jest w potędze nieparzystej.

\( \int \cos^3x dx = \left| \substack{ t=\sin x \\ dt=\cos x dt \\ \cos^2 x=1-t^2 } \right| = \int \left(1-t^2\right) dt = t-\frac{ t^3 }{ 3 }+C= \sin x +\frac{ \sin^3 x }{ 3 }+C. \)

Zadanie 1:

Treść zadania:

Stosując podstawienie trygonometryczne oblicz całkę

\( \int \frac{ dx }{ \sin x }. \)

Twierdzenie 2: o całkowaniu funkcji postaci \( \sin (\alpha x) \cos(\beta x) \), \( \sin (\alpha x)\sin(\beta x) \), \( \cos (\alpha x) \cos(\beta x) \)

Do obliczania całek \( \int \sin (\alpha x) \cos(\beta x) dx , \) \( \int \sin (\alpha x) \sin(\beta x) dx , \) \( \int \cos (\alpha x) \cos(\beta x) dx \) stosujemy tożsamości trygonometryczne

\( \sin (\alpha x) \cos (\beta x) = \frac{ 1 }{ 2 }\left[\sin[(\alpha + \beta)x]+ \sin[(\alpha - \beta)x]\right] , \)

\( \sin (\alpha x) \sin (\beta x) = \frac{ 1 }{ 2 }\left[\cos[(\alpha - \beta)x]- \cos[(\alpha + \beta)x]\right], \)

\( \cos (\alpha x) \cos(\beta x) = \frac{ 1 }{ 2 }\left[\cos[(\alpha + \beta)x]+ \cos[(\alpha - \beta)x]\right]. \)

Przykład 4:

Obliczmy całkę

\( \int \sin (6x) \cos (3x) dx. \)

Korzystając z tożsamości z twierdzenia o całkowaniu funkcji postaci \( \sin (\alpha x) \cos(\beta x) \), \( \sin (\alpha x)\sin(\beta x) \), \( \cos (\alpha x) \cos(\beta x) \) , otrzymujemy

(1)

\( I=\int \sin (6x) \cos (3x) dx = \int \frac{ 1 }{ 2 }[\sin(6x + 3x)+ \sin(6x - 3x)] dx =\frac{ 1 }{ 2 }\int \sin (9x) dx +\frac{ 1 }{ 2 } \int \sin (3x) dx \)

Ostatecznie z wzoru \( \int \sin (ax) dx= - \frac{ 1 }{ a } \cos (ax) +C \) otrzymujemy

(2)

\( I=- \frac{ 1 }{ 18 } \cos (9x) - \frac{ 1 }{ 6 } \cos (3x) +C. \)

Przykład 5:

Obliczmy całkę

\( \int \sin (4x) \sin (5x) dx. \)

Na podstawie wzoru z twierdzenia o całkowaniu funkcji postaci \( \sin (\alpha x) \cos(\beta x) \), \( \sin (\alpha x)\sin(\beta x) \), \( \cos (\alpha x) \cos(\beta x) \) otrzymujemy

\( I=\int \sin (4x) \sin (5x) dx = \int \frac{ 1 }{ 2 }[\cos(4x - 5x)- \cos(4x + 5x)] dx = \frac{ 1 }{ 2 } \int \cos(- x) dx -\frac{ 1 }{ 2 } \int \cos (9x) dx \)

Następnie korzystając z wzoru \( \int \cos (ax) dx=\frac{ 1 }{ a } \sin (ax) +C \) mamy

\( I=-\frac{ 1 }{ 2 } \sin(- x) - \frac{ 1 }{ 18 } \sin (9x) +C=\frac{ 1 }{ 2 } \sin(x) - \frac{ 1 }{ 18 } \sin (9x) +C. \)

Zadanie 2:

Treść zadania:

Oblicz całkę

\( \int \cos (2x) \cos (7x) dx. \)

Matematyka

Całki z funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie 1: o całkowaniu funkcji postaci \( R(\sin x, \cos x) \)

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3:

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Twierdzenie 2: o całkowaniu funkcji postaci \( \sin (\alpha x) \cos(\beta x) \), \( \sin (\alpha x)\sin(\beta x) \), \( \cos (\alpha x) \cos(\beta x) \)

Przykład 4:

Przykład 5:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Temat:
Opis:
Typ:

Email: